Question

已知对角线互相垂直且面积为5的四边形，其顶点都在半径为3的圆上，设圆心到两对角线的距离分别为d₁，d₂，则d₁+d₂的最大值为    ．

Answer

先设对角线互相垂直的四边形两对角线分别为a，b，利用圆的性质得出圆心到两对角线的距离分别为d1，d2，得出d1+d2的函数表达式，再根据隐含条件求出此函数的定义域，画出其图象，利用函数的图象研究它的最大值．
【解析】
设两对角线分别为a，b．如图．
d1=
d2=，
四边形面积为5=ab，
∴ab=10．
∴得d1+d2=+，
又对角线a、b的交点应在圆内，即d₁2+d₂2=OP2＜r2=32，
代入d1=，d2=，ab=10．全部化为同一个变量a即为（9-a2）+（9-）＜9，
解得a2∈（-∞，18-4）∪（18+4，+∞），
又对角线a＞0，即得a∈（0，-2）∪（+2，+∞），
与函数自身的定义域[，6]，取交集后得a的取值范围，
即函数符合题意的实际定义域为[，-2）∪（+2，6]．
作出函数y=+（a∈[，-2）∪（+2，6]）的图象，如图．
从图中可以看出，当a→-2，或a→+2时，y=+取得极大值．
故d1+d2的取值范围为[，），右端为开区间，无最大值．
故答案为：无（或是一道错题）．