Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点．
（1）求证：BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG∥面DEF．

Answer

（1）连接BD，证明BG⊥AD，因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩底面ABCD=AD，即可证明BG⊥面PAD；
（2）E是BC的中点，点F为PC的中点时，连接GC交DE于点H，证明PG平行面DEF内的直线FH，即可证明PG∥面DEF．
证明：（1）连接BD，因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
所以三角形ABD为正三角形，又因为点G为AD的中点，所以BG⊥AD
因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩底面ABCD=AD，
所以BG⊥面PAD．
（2）【解析】
当点F为PC的中点时，PG∥面DEF
连接GC交DE于点H
因为E、G分别为菱形ABCD的边BC、AD的中点，所以四边形DGEC为平行四边形
所以点H为DE的中点，又点F为PC的中点
所以FH时三角形PGC的中位线，所以PG∥FH
因为FH⊂面DEF，PG不属于面DEF
所以PG∥面DEF．
综上：当点F为PC的中点时，PG∥面DEF