Question

已知．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=x²-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；
（3）当n∈N*，n≥2时，求证：．

Answer

（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值⇒f′（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈（a，a+1）．
（2）构造函数g（x）=x2-2x+k，若关于x的方程f（x）=x2-2x+k有实数解⇒f（x）=g（x）有实数解⇒g（x）min=g（1）≤f（x）max
（法二）由f（x）=x2-2x+k分离系数k=，构造函数h（x）=，由题意可得，k≤h（x）max．
（3）结合函数f（x）在（1，+∞）上的单调性可得，f ⇒1+⇒，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证．
【解析】
（1）∵，∴
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0；
∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数（3分）
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值．
∴，解得0＜a＜1
（2）由（1）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2-2x+k，
所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k-1，
又因为方程f（x）=x2-2x+k有实数解，那么k-1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2

解法二：∵f（x）=x2-2x+k，∴，
令h（x）=，所以h'（x）=+2-2x，当x=1时，h'（x）=0
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0
∴当x=1时，函数h（x）取得极大值为h（1）=2
∴当方程f（x）=x2-2x+k有实数解时，k≤2．）
（3）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而，
∴，∴，即
∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜
∴
而n•f（n）=1+lnn，
，结论成立