Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，那么满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整数k=    ．

Answer

利用等差数列的求和公式，可得{an}的前n项和Sn关于n的分段表达式．已知等式可化为ak+ak+1+…+ak+19=Sk+19-Sk-1=102，k是正整数，通过讨论k-1与13的大小，分别得到关于k的方程，解之即得满足条件的正整数k值．
【解析】
∵an=|n-13|，∴an=，
∴当n≤13时，{an}的前n项和为Sn=，
当n＞13时，{an}的前n项和为Sn=
满足ak+ak+1+…+ak+19=102，即ak+ak+1+…+ak+19=Sk+19-Sk-1=102，k是正整数
而Sk+19==（k2+13k+198）
①当k-1≤13时，Sk-1=-k2+k-13，
所以Sk+19-Sk-1=（k2+13k+198）-（-k2+k-13）=102，解之得k=2或k=5
②当k-1＞13时，Sk-1==（k2-27k+338）
所以Sk+19-Sk-1=（k2+13k+198）-（k2-27k+338）=102，解之得k不是整数，舍去
综上所述，满足条件的k=2或5
故答案为：2或5