(1)按分段函数分段标准讨论x,然后解不等式f(x)≤x即可;
(2)先求出函数fk(x)的解析式,然后研究函数fk(x)的单调性,从而得到f(x)的第k阶阶梯函数图象的最高点Pk的坐标,然后求出过PkPk+1这两点的直线的斜率和过Pk+1Pk+2这两点的直线的斜率,可证得所有的点Pk在某条直线L上.
【解析】
(1)当x∈[0,)时,f(x)=x+>x,故不等式f(x)≤x无解;
x∈[,1]时,f(x)=2(1-x)≤x,解得x∈
故不等式f(x)≤x的解为------------------(4分)
(2)∵,k∈N*-------------------(6分)
第一段函数是增函数,第二段是减函数
∴f(x)的第k阶阶梯函数图象的最高点为,-------------------(7分)
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为
所以过PkPk+1这两点的直线的斜率为.------------------(8分)
同理可得过Pk+1Pk+2这两点的直线的斜率也为.
所以f(x)的各阶阶梯函数图象的最高点共线.
直线方程为即2x+4y-5=0-------------(12分)