Question

出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，请解决以下问题：
（1）求点A（1，3）、B（6，9）的“距离”|AB|；
（2）求线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M（x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”；
（3）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，点A（1，3）、B（6，9），C（1，9），求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象；（说明所给图形小正方形的单位是1）

Answer

（1）根据出租车几何学中“距离”的定义，易得|AB|=|6-1|+|9-3|=5+6=11；
（2）用出租车几何学中“距离”的定义代入，再结合已知条件去绝对值化简，可得M到原点O的“距离”等于2；
（3）设“圆”的“圆心”坐标为M（m，n），由|MA|=|MB|=|MC|结合绝对值的性质，得到M（，6），再根据出租车几何学中“距离”的定义，求出“半径”R的值，即可画出这个“圆”的大致图象．
【解析】
（1）根据出租车几何学中“距离”的定义，得
|AB|=|x1-x2|+|y1-y2|=|6-1|+|9-3|=5+6=11…（3分）
（2）点M（x，y）到原点的距离为：|MO|=|x-0|+|y-0|=|x|+|y|
∵线段x+y=2上的点M（x，y）满足x≥0，y≥0
∴|x|=x，|y|=y=2-x，可得|MO|=|x|+|y|=x+y=2…（6分）
（3）设“圆心”坐标为M（m，n），则
由|MA|=|MC|，得|m-1|+|n-3|=|m-1|+|n-9|，所以点M在y=6上…（7分）
又因为|MB|=|MC|即|m-1|+|n-9|=|m-6|+|n-9|，所以点M在上…（8分）
∴M（，6）…（10分）
R=|AM|=|-1|+|6-3|=…（14分）
“圆M”的图象如右图所示     …（16分）