Question

正数列{a_n}的前n项和S_n满足：2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
（1）求证：a_n+2-a_n是一个定值；
（2）若数列{a_n}是一个单调递增数列，求a的取值范围；
（3）若S₂₀₁₃是一个整数，求符合条件的自然数a．

Answer

（1）由2Sn=anan+1-1，得2Sn+1=an+1an+2-1，故2an+1=an+1（an+2-an），由此能够证明an+2-an=2．
（2）取n=1，得2a=aa2-1，故，根据数列是隔项成等差，能求出a的取值范围．
（3）由，求出S2013=，由此能够求出符合条件的自然数a．
（1）证明：2Sn=anan+1-1①，
2Sn+1=an+1an+2-1②，
②-①：2an+1=an+1（an+2-an），
任意n∈N*，an＞0，
∴an+2-an=2…（4分）
（2）【解析】
计算n=1，2a=aa2-1，
∴…（6分）
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，，a+2，，a+4，，…
所以奇数项是递增数列，偶数项是递增数列，
整个数列成单调递增的充要条件是…（8分）
解得…（10分）
（3）【解析】
，
S2013=（a1+a3+…+a2013）+（a2+a4+…+a2012）
=
=…（14分）
S2013是一个整数，
所以a=1，2，503，1006一共4个
对一个得（1分），合计（4分）