已知函数f（x）=ax+blnx．（1）当x=2时f（x）取得极小值2-2ln...

已知函数f（x）=ax+blnx．
（1）当x=2时f（x）取得极小值2-2ln2，求a，b的值；
（2）当b=-1时，若在区间（0，e]上至少存在一点x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

（1）求导函数，利用当x=2时，f（x）取得极小值2-2ln2，建立方程，即可求得a，b的值；（2）b=-1时，f（x）=ax-lnx，求导函数可得f'（x）=a-=，若在区间（0，e]上至少存在一点x，使得f（x）＜0成立，则f（x）=ax-lnx在区间（0，e]上的最小值＜0，分类讨论：①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在区间（0，e]上递减，符合题意；②当0＜＜e，即a＞时，f（x）min=f（）=1-ln=1+lna，可得不成立；③当≥e，即0＜a≤时，f（x）在（0，e]上为减函数，由此可得a的取值范围．【解析】（1）求导函数可得：f'（x）=a+ ∵当x=2时，f（x）取得极小值2-2ln2， ∴f'（2）=0，f（2）=2-2ln2 ∴2a+b=0，2a+bln2=2-2ln2 ∴a=1，b=-2 此时f'（x）=1- 当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0 ∴当x=2时，f（x）取得极小值 ∴a=1，b=-2 （2）b=-1时，f（x）=ax-lnx，求导函数可得f'（x）=a-= 若在区间（0，e]上至少存在一点x，使得f（x）＜0成立，则f（x）=ax-lnx在区间（0，e]上的最小值＜0 ①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在区间（0，e]上递减由f（x）min=f（e）=ae-1＜0得a＜，∴a≤0符合题意 ②当0＜＜e，即a＞时，x∈（0，），f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（，e），f'（x）＞0，f（x）递增 ∴f（x）min=f（）=1-ln=1+lna 由lna+1＜0得a＜，矛盾 ③当≥e，即0＜a≤时，f（x）在（0，e]上为减函数，f（x）min=f（e）=ae-1＜0 ∴0＜a＜综上所述，符合条件的a的取值范围是a＜．

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考点分析：

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