Question

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左右顶点，F（1，0）为其右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A，B），与椭圆在点B处的切线交于点D．当直线l绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer

（1）由已知条件可得a=2，c=1，由a2=b2+c2，求出b，进而求出椭圆C的标准方程及离心率；
（2）先设出直线l的方程，根据题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径，再将l的方程与椭圆方程联立，得到交点A、P的坐标关系，因为A点的坐标已知，从而求出点P的坐标，然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可．
【解析】
（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为，半焦距为c，
因为A（-2，0）、B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F（1，0）为其右焦点，
所以a=2，c=1．又因为a2=b2+c2，所以．
故椭圆C的方程为，离心率为．（5分）
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：
由题意可设直线l的方程为y=k（x+2）（k≠0），
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
由得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．
设点P的坐标为（x，y），则．
所以，．
因为点F坐标为（1，0），
当时，点P的坐标为，点D的坐标为（2，±2），
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）2+（y∓1）2=1与直线PF相切．
当时，则直线PF的斜率．
所以直线PF的方程为．
点E到直线PF的距离=．
又因为|BD|=4|k|所以．
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线l绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．（14分）