Question

设F₁，F₂为椭圆的焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是     ．

Answer

先依据条件求出AF1的长度，由题意知∠AF2F1  小于45°，由 tan∠AF2F1＜1 建立关于a、c的不等式，
转化为关于e的不等式，解此不等式求出离心率e的范围，再结合 0＜e＜1 得到准确的离心率e的范围．
【解析】
由题意知∠AF2F1  小于45°，故 tan∠AF2F1  ;=＜1，即  ＜1，
b2＜2ac，a2-c2＜2ac，e2+2e-1＞0，∴e＞-1，或 e＜-1- （舍去）．
又 0＜e＜1，故有  -1＜e＜1，
故答案为：-1＜e＜1．