Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成角为θ，点B₁在底面上射影D落在BC上．
（I）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（II）若点D恰为BC中点，且AB₁⊥BC₁，求θ的大小；
（III）若，且当AC=BC=AA₁=a时，求二面角C-AB-C₁的大小．

Answer

（I）要证：AC⊥平面BB1C1C，只需证明B1D⊥AC，BC⊥AC即可；
（II）点D恰为BC中点，且AB1⊥BC1，作出侧棱与底面所成角，然后求θ的大小；
（III）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求二面角C-AB-C1的大小．
（本小题满分12分）
【解析】
（I）∵B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴B1D⊥AC
又∵BC⊥AC，B1D∩BC=D，∴AC⊥平面BB1C1C（3分）

（II）
∴四边形BB1C1C为菱形，（5分）
又∵D为BC的中点，BD⊥平面ABC
∴∠B1BC为侧棱和底面所成的角α，∴
∴∠B1BC=60°，即侧棱与底面所成角60°．（8分）

（III）以C为原点，CA为x轴CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），B（0，a，0），，
平面ABC的法向量n1=（0，0，1），设平面ABC1的法向量为n2=（x，y，z），
由，即，（10分）
，＜n1，n2＞=45°，
∵二面角C-AB-C1大小是锐二面角，
∴二面角C-AB-C1的大小是45°（12分）