Question

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）直线l₁过椭圆C₁的左焦点F₁，且与x轴垂直，动直线l₂垂直于直线l₂，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（III）设C₂上的两个不同点R、S满足，求的取值范围（O为坐标原点）．

Answer

（I）由离心率为，可得2a2=3b2，利用直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，可求b的值，从而可得椭圆方程；
（II）由|MP|=|NF2|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线，以F2为焦点的抛物线，从而可得轨迹C2的方程；
（III）设出R，S的坐标，利用，可得纵坐标之间的关系，利用基本不等式确定S纵坐标的范围，进而可求||的取值范围．
【解析】
（I）由离心率为，得，∴2a2=3b2，
∵直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，
∴
∴b=
∴a=，
∴椭圆方程为            …（3分）
（II）由|MP|=|NF2|得动点M的轨迹是以直线x=-1为准线，以F2为焦点的抛物线．
∴轨迹C2的方程是y2=4x                         …（6分）
（III）设R（，y1），S（，y2），则=（，y1），=（，y2），
∴=（，y2-y1），
∵，∴+y1（y2-y1）=0，
∵y2≠y1，∴y2=-（y1+），
∵=（y1+）2=++32≥64，当且仅当=，即y1=±4等号成立，…（9分）
∵||=，，
∴当，即y2=±8时，||取得最小值8，
∴||的取值范围是[8，+∞）                       …（12分）