Question

已知函数f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有单调性．
（I）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f'（x）是f（x）的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数x₁、x₂，不等式恒成立．

Answer

（Ⅰ）求函数在x∈（2，+∞）上不具有单调性时实数a的取值范围，可以考虑求导函数的方法，则导函数在（2，+∞）上即有正也有负，即有零点，求出范围即可．
（Ⅱ）由（I）求出g（x）的函数表达式，然后求导函数h（x），通过判断h（x）的单调性求出g'（x），然后可以得到函数是增函数，对任意两个不相等正数x1、x2，即可得到不等式成立．
【解析】
（I），
∵f（x）在x∈（2，+∞）上不具有单调性，∴在x∈（2，+∞）上f'（x）有正也有负也有0，
即二次函数y=2x2-6x+a在x∈（2，+∞）上函数值有负数．
∵y=2x2-6x+a是对称轴是，开口向上的抛物线，
∴2•22-6•2+a＜0的实数a的取值范围（-∞，4）
故答案为（-∞，4）．

（II）由（I），
∵a＜4，∴，（8分）
设，，h（x）在是减函数，在增函数，
当时，h（x）取最小值∴从而g'（x），∴，
函数是增函数，x1、x2是两个不相等正数，
不妨设x1＜x2，则
∴，
∵x2-x1＞0，∴
∴，即