Question

椭圆+y²=1上存在一点P，使得它对两个焦点F₁，F₂的张角∠F₁PF₂=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．[，1）
C．（0，]
D．[，1）

Answer

首先根据椭圆方程，求出它的离心率为：e=，然后设点椭圆上P的坐标为（x，y），满足∠F1PF2=，利用数量积为0列出关于x、y和a、c的等式．接下来利用椭圆方程消去y，得到关于x的式子，再利用椭圆上点横坐标的范围：-a≤x≤a，建立关于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范围，代入离心率关于a的表达式，即可得到该椭圆的离心率的取值范围．
【解析】
∵椭圆方程为：+y2=0，
∴b2=1，可得c2=a2-1，c=
∴椭圆的离心率为e=
又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，
∴设点P的坐标为（x，y），结合F1（-c，0），F2（c，0），
可得=（-c-x，-y），=（c-x，-y），
∴=+=0…①
∵P（x，y）在椭圆+y2=1上，
∴=1-，代入①可得+1-=0
将c2=a2-1代入，得-a2-+2=0，所以=，
∵-a≤x≤a
∴，即，解之得1＜a2≤2
∴椭圆的离心率e==∈[，1）．