Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且2PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（Ⅰ）求异面直线EF与AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：BC∥面EFG；
（Ⅲ）求三棱锥E-AFG的体积．

Answer

（Ⅰ）判断∠DAG是EF与AG所成的角，然后直接求异面直线EF与AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）首先证明BC∥EF，然后证明BC∥面EFG；
（Ⅲ）通过VE-AFG=VG-AEF，即可求三棱锥E-AFG的体积．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，
于是，∠DAG是EF与AG所成的角…（2分）
∵，
∴，
∴EF与AG所成角的余弦值是…（4分）
（Ⅱ）证明：因为BC∥AD，AD∥EF，所以BC∥EF…（6分）
∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，
∴BC∥平面EFG…（8分）
（Ⅲ）【解析】
VE-AFG=VG-AEF=…（12分）