Question

已知函数f（x）=2．
（1）试说明函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的；
（2）若函数g（x）=，试判断函数g（x）的奇偶性，并用反证法证明函数g（x）的最小正周期是；
（3）求函数g（x）的单调区间和值域．

Answer

（1）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数即可，再利用图象变换规律可得变换方法；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-），从而可得g（x）==|sin2x|+|cos2x|，利用函数奇偶性的定义进行证明，再用反证法证明T=是函数g（x）的最小正周期；
（3）先求函数g（x）在一个周期[0，]内的单调区间和函数值的取值范围；再依据周期函数的性质，可得结论．
【解析】
（1）∵f（x）=2=sin2x-cos2x，
∴f（x）=2sin（2x-）（x∈R）．
∴函数f（x）的图象可由y=sinx的图象按如下方式变换得到：
①将函数y=sinx的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（x-）的图象；
②将函数y=sin（2x-）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-）的图象；
③将函数y=sin（2x-）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2sin（2x-）的图象．
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-），
∴g（x）==|sin2x|+|cos2x|．
又对任意x∈R，g（-x）=g（x），∴函数g（x）是偶函数．
∵g（x+）=|cos2x|+|sin2x|=g（x），
∴g（x）是周期函数，T=是它的一个周期．
现用反证法证明T=是函数g（x）的最小正周期．
反证法：假设T=不是函数g（x）的最小正周期，设T1（0＜T1＜）是g（x）的最小正周期．
则g（x+T1）=g（x），即|cos（2x+2T1）|+|sin（2x+2T1）|=|sin2x|+|cos2x|．
令x=0，得sin2T1+cos2T1=1，两边平方后化简，得sin2T1×cos2T1=0，这与sin2T1≠0且cos2T1≠0，矛盾．因此，假设不成立．
所以，函数g（x）的最小正周期是．
（3）先求函数g（x）在一个周期[0，]内的单调区间和函数值的取值范围．
当x∈[0，]时，g（x）=sin2x+cos2x=），且．
易知，此时函数g（x）的单调增区间是[0，]，单调减区间是[，]；
函数的取值范围是1≤g（x）≤．
因此，依据周期函数的性质，可知函数g（x）=|sin2x|+|cos2x|的单调增区间是[，+]（k∈Z）；单调减区间是[+，+]（k∈Z）．
函数g（x）的值域是[1，]．