Question

已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=-6a，，．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若{c_n}满足c₁=1，c₂=5，，试用数学归纳法证明：．

Answer

（1）通过已知条件求出a，b利用，通过等比数列的定义证明数列{bn}是等比数列；
（2）求出数列{bn}的通项公式，然后利用（1）求数列{an}的通项公式an；
（3）若{cn}满足c1=1，c2=5，，直接利用数学归纳法的证明步骤，证明：．
证明（1）∵a＜b，a2-a-6=0，b2-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a2=12．
∵，，
∴bn+1=an+2-3an+1
=6an+1-9an+1-3an+1
=3（an+1-3an）
=3bn （n∈N*）．
又b1=a2-3a1=9，
∴数列{bn}是公比为3，首项为b1的等比数列．
（2）依据（1）可以，得bn=3n+1（n∈N*）．
于是，有an+1-3an=3n+1（n∈N*），即=1，（n∈N*）．
因此，数列{}是首项为=，公差为1的等差数列．
故．
所以数列{an}的通项公式是an=（3n-2）•3n-1（n∈N*）．
（3）用数学归纳法证明：
（i）当n=2时，左边：cn+acn-1=c2-2c1=3，
右边：，
即左边=右边，所以当n=2时结论成立．
（ii）假设当n=k．（k≥2，k∈N*）时，结论成立，即．
当n=k+1时，左边=ck+1+ack
=5ck-6ck-1-2ck
=3（ck+2ck-1）=，
右边：=．
即左边=右边，因此，当n=k+1时，结论也成立．
根据（i）、（ii）可以断定，
cn+acn-1=对n≥2的正整数都成立．