Question

已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=-6_a，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*）．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）已知数列{c_n}满足c_n=（n∈N^*），试建立数列{c_n}的递推公式（要求不含a_n或b_n）；
（3）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer

（1）由a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，解得a=-2，b=3，a2=-12．由a1=1，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*），得到bn+1=an+2-3an+1=3bn（n∈N*）．由此能够证明数列{bn}是等比数列．
（2）由，得．由此能够推导出数列{cn}的递推公式．
（3）由cn=，（n∈N*），得=（3n-2）•3n-1，（n∈N*）．由此利用错位相减法能够求出数列{an}的前n项和．
（1）证明：∵a＜b，且a2-a-6=0，b2-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a2=-12．
∵a1=1，an+1=6an-9an-1（n≥2，n∈N*），bn=an+1-ban（n∈N*），
∴bn+1=an+2-3an+1
=6an+1-9an-3an+1
=3（an+1-3an）
=3bn（n∈N*）．
又b1=a2-3a1=9，
∴数列{bn}是公比为3，首项为b1的等比数列．
（2）【解析】
由（1）得．
于是，有（n∈N*），
即．
又，（n∈N*），则cn+1-cn=1，n∈N*．
因此，数列{cn}的递推公式是．
（3）【解析】
由（2）可知，数列{cn}是公差为1，首项为的等差数列，
于是cn=，（n∈N*）．
故=（3n-2）•3n-1，（n∈N*）．
因此，Sn=a1+a2+…+an
=1+4•3+7•32+…+（3n-2）•3n-1，
3Sn=1•3+4•32+7•33+…+（3n-2）•3n，
将上述两个等式相减，
得-2=1+-（3n-2）•3n，
∴2Sn=n•3n+1-+．
所以-+，（n∈N*）．