Question

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数f_k（x）=，取函数f（x）=2+x+e^-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有f_k（x）=f（x），则（ ）
A．K的最大值为2
B．K的最小值为2
C．K的最大值为3
D．K的最小值为3

Answer

由已知条件可得k≤f（x）min，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．
【解析】
由题意可得出k≤f（x）min，
由于f′（x）=1-e-x，令f′（x）=0，e-x=1=e解出x=0，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最小值f（0）=2+1=3．
故当k≤3时，恒有fk（x）=f（x）
因此k的最大值为3．
故选C．