Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n} 的前n项和为T_n；
（Ⅲ）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（t＞0），且数列{c_n} 是单调递增数列，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由3Sn=5an-an-1+3Sn-1，得到3an=5an-an-1，进而得到，再由a1=2，能求出数列{an} 的通项公式．
（2）由（1）知：，故+…+（2n-1）•22-n，利用错位相减法能够求出Tn．
（3）由cn=n•tn•lgt，cn＜cn+1，知n•tn•lgt＜（n+1）•tn+1•lgt，再进行分类讨论，能够求出实数t的取值范围．
【解析】
（1）∵3Sn=5an-an-1+3Sn-1，
∴3an=5an-an-1，
∴，
∵a1=2，∴．
（2）∵，bn=（2n-1）an，
∴，
∵数列{bn} 的前n项和为Tn，
∴+…+（2n-1）•22-n，
同乘公比得+…+（2n-1）•21-n
∴+2×2-2+…+2×22-n-（2n-1）•21-n
=2+4[1-]-（2n-1）•21-n
∴．
（3）∵cn=tn[lg（2t）n+lgan+2]（t＞0），∴cn=n•tn•lgt，
∵cn＜cn+1，∴n•tn•lgt＜（n+1）•tn+1•lgt，
①当0＜t＜1时，则t＜对任意正整数恒成立，0＜t＜．
②当t＞1时，t＞对任意正整数恒成立，∴t＞1．
综上可知，实数t的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．