Question

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为正常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；
（3）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x，我们把|f（x）-g（x）|的值称为两函数在x处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer

（1）由函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，我们可以求出函数y=f（x）的图象与Y轴的交点和y=g（x）的图象与X轴交点的坐标，求出两个函数的导函数后，根据函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，即两函数在交点处的导数值相等，构造关于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）由（1）中结论，我们可将不等式化为，若存在x使不等式成立，则m小于在[0，+∞）上的最大值，构造函数h（x）=，并求出其在[0，+∞）上的最大值，即可得到答案．
（3）构造函数h（x）=ex-lnx，并根据导数当分析函数的单调性，然后分x≥1时和0＜x＜1时，两种情况分别确定函数在x处的偏差的取值范围，即可得到答案．
【解析】
（1）∵f（x）=aex，
∴f′（x）=aex，
函数f（x）=aex只于Y轴交于（0，a）
且f′（0）=a
又∵g（x）=lnx-lna，
∴g′（x）=，
又∵函数g（x）=lnx-lna只于X轴交于（a，0）点
∴g′（a）=
又∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
∴a=1
，
∴

∵x∈（0，+∞）时，ex＞1

∴h，（x）＜0，h（x）在[0，+∞）上单调递减
∴h（x）max=h（0）=0
∴m＜0
（3）设h（x）=ex-lnx，
（i）当x≥1时，h'（x）＞0，有h（x）≥h（1）=e＞2
（ii）当0＜x＜1时，设，则x+lnx=0[
此时
所以综上有函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．