Question

已知数列{b_n}，若存在正整数T，对一切n∈N^*都有b_n+r=b_n，则称数列{b_n}为周期数列，T是它的一个周期．例如：
数列a，a，a，a，…①可看作周期为1的数列；
数列a，b，a，b，…②可看作周期为2的数列；
数列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期为3的数列…
（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是，试再写出该数列的一个通项公式；
（2）求数列③的前n项和S_n；
（3）在数列③中，若a=2，b=，c=-1，且它有一个形如b_n=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，A＞0，ω＞0，|φ|＜，求该数列的一个通项公式b_n．

Answer

（1）根据数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列，可写出数列的通项；
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，故可分类得出结论；
（3）由题意，ω＞0，应有，得ω=，于是bn=Asin（n+φ）+B，把b1=2，b2=，b3=-1，代入上式，即可得出结论．
【解析】
（1）∵数列a，b，a，b，…可看作周期为2的数列；
∴an=等．（3分）
（2）数列a，b，c，a，b，c，…可看作周期为3的数列，所以当n=3k+1时，；（5分）
当n=3k+2时，；（7分）
当n=3k+3时，（k∈N）．（9分）
（3）由题意，ω＞0，应有，得ω=，（10分）
于是bn=Asin（n+φ）+B，
把b1=2，b2=，b3=-1，代入上式得（12分）
由（1）（2）可得Acosφ=，再代入（1）的展开式，可得-φ+B=，与（3）联立得B=，（13分）
Asinφ=-，于是tanφ=-
因为|φ|＜，所以φ=-，（14分）
于是可求得A=．（15分）
故bn=sin（）+（16分）