Question

等比数列{a_n}是递增的等比数列，且满足a₁a₄=27，a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer

（1）利用等比数列的性质，结合a1a4=27，a2+a3=12，可得a2a3=27，a2+a3=12，结合数列{an}是递增的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；
（2）设{bn}的公差为d，由T3=15，得b1+b2+b3=15，可得b2=5，设b1=5-d，b3=5+d，从而可得数列的公差，利用求和公式，即可求Tn．
（1）证明：∵数列{an}是等比数列，a1a4=27，a2+a3=12．
∴a2a3=27，a2+a3=12
∴a2、a3是一元二次方程x2-12x+27=0的两根
∵数列{an}是递增的等比数列，
∴a2=3，a3=9
∴数列{an}的公比q=3，a1=3
∴an=3n-1．
（2）【解析】
设{bn}的公差为d，由T3=15，得b1+b2+b3=15，可得b2=5
故可设b1=5-d，b3=5+d，
∵a1=3，a2=3，a3=9
∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）2，
∴d=2或-10
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0，
∴d=2
∴Tn=3n+2=n2+2n