Question

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx-2与椭圆C相交于A，B两点，且，若原点O在以MN为直径的圆外，求k的取值范围．

Answer

（1）依题意设出椭圆的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点，待定系数法求出椭圆的方程；
（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，结合向量条件，原点O在以MN为直径的圆外，可得∠MON为锐角，从而∠AOB为锐角，利用向量的数量积，即可求得k的取值范围．
【解析】
（1）依题意，可设椭圆E的方程为
∵离心率为，∴，即a=2c，
∴b2=a2-c2=3c2，
∵椭圆经过点，∴
解得c2=1
∴a2=4，b2=3
∴椭圆的方程为．
（2）记A、B 两点坐标分别为A（x1，x2 ），B （x2，y2），
 由消去y，得 （4k2+3）x2-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）2-16（4k2+3）＞0，∴k2＞，
由韦达定理 x1 +x2=，x1x2=，
∵原点O在以MN为直径的圆外，∴∠MON为锐角
∵
∴∠AOB为锐角
∴    
∵═x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）=（k2+1）x1x2-2k（x1+x2）+4
=（k2+1）×-2k×+4=
∴
∴
∵k2＞，
∴
∴k的取值范围为