Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设m＞0，求函数f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）证明：对∀n∈N^*，不等式恒成立．

Answer

（1）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负明确的函数的单调区间；
（2）分类讨论，确定函数f（x）在[m，2m]上的单调性，从而可求函数的最大值；
（3）先确定函数在（0，+∞）上，恒有f（x）=，即，从而可得x∈（0，+∞），恒有，进而可得结论．
【解析】
（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=
令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e；
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；
（2）①当0＜2m≤e，即0＜m≤时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递增，
∴f（x）max=f（2m）=；
②当m≥e时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递减，
∴f（x）max=f（m）=；
③当m＜e＜2m，即时，由（1）知，f（x）max=f（e）=
（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（e）=
∴在（0，+∞）上，恒有f（x）=，即
当且仅当x=e时，等号成立
∴∀x∈（0，+∞），恒有
∵，
∴
∴