Question

已知数列{a_n} 和{b_n} 的通项分别为a_n=2n-1，b_n=2ⁿ⁺¹-1（n∈N^*），集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，设D=C_AB．将集合D中元素从小到大依次排列，构成数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…．
（1）写出d₁，d₂，d₃，d₄；
（2）求数列{d_n}的前2012项的和；
（3）是否存在这样的无穷等差数列{c_n}：使得C_n∈D（n∈N^*）？若存在，请写出一个这样的数列，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据数列的通项，写出相应的项，由此可写出d1，d2，d3，d4；
（2）数列{dn}的前2012项的和为数列{an}的前2012项的和减去{bn}的前10项的和，由此可得结论
（3）存在，列举一个cn=6n-1=2×3n-1，n∈N*，证明cn∈A，cn∉B即可．
【解析】
（1）∵an=2n-1，bn=2n+1-1，
∴a1=1，b1=3；a2=3，b2=7；a3=5，b3=15；
∴A={1，3，5，7，9，11，13，…2n-1}，B={3，7，15，31，63，127，…2n+1-1}，
∵D=CAB，集合D中元素从小到大依次排列，构成数列d1，d2，d3，…，dn，…．
∴d1=1，d2=5，d3=9，d4=11；
（2）b1=3，b2=7，b3=15，…b10=2047，b11=4095，a2012=2×2012-1=4023，a2022=2n-1=4043
∴数列{dn}的前2012项的和为a1+a2+…+a2012-（b1+b2+…+b10）=20222-（212-14）=40402
（3）存在．如cn=6n-1（n∈N*），
证明：cn=6n-1=2×3n-1，n∈N*，所以3n∈N*，所以cn∈A
假设cn∈B，则存在实数k，6n-1=2k+1-1，所以n=（n∈N*），
由于上式左边为整数，右边为分数，所以上式不成立，所以假设不成立，所以cn∉B
所以cn∈D．即cn=6n-1（n∈N*）满足要求．