Question

如图，在四棱锥P-ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．
求：
（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
（2）四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（1）利用平移法作出异面直线所成的角，进而利用余弦定理可求线线角；
（2）四棱锥的体积为×底面积×高，求出底面梯形的面积即可．
【解析】
（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……（2分）
延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．（5分）
在△PDE中，cos∠PDE=-．…（8分）
所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（9分）
（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，
∴底面梯形面积为
∵PA⊥平面ABCD，PA=1．
∴四棱锥P-ABCD的体积为．…（6分）