Question

已知定义在实数集上的函数，（x∈N^*），其导函数记为f_n′（x），且满足，其中a，x₁，x₂为常数，x₁≠x₂．设函数g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

Answer

（Ⅰ）根据f2（x）=x2f2'（x）=2x，可得，化简可求；
（Ⅱ）根据f1（x）=xf2（x）=x2f3（x）=x3，可得g（x）=mx2+x-3lnx（x＞0）．利用函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，可得该零点左右g′（x）同号，从而可得二次方程2mx2+x-3=0有相同实根，故可求m的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，k=g′（x）=2mx-+1，k′=2m+，，分类讨论：①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，最大值为m-5；②当m＜-6时，由k′=0，得x=，而，可得x=时，k取得最大值且最大值为．
【解析】
（Ⅰ）∵f2（x）=x2f2'（x）=2x
∴
∴（x1-x2）（2a-1）=0
∵x1≠x2，∴；
（Ⅱ）∵f1（x）=xf2（x）=x2f3（x）=x3，∴g（x）=mx2+x-3lnx（x＞0）
∴g′（x）=
∵函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，
∴该零点左右g′（x）同号，
∵m≠0，∴二次方程2mx2+x-3=0有相同实根
∴△=1+24m=0
∴m=-；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，k=g′（x）=2mx-+1，k′=2m+
∵x∈[0，]，∴
∴①当-6≤m＜0或m＞0时，k′≥0恒成立，∴k=g′（x）在（0，]上递增
∴当x=时，k取得最大值，且最大值为m-5；
②当m＜-6时，由k′=0，得x=，而
若x∈，则k′＞0，k单调递增；
若x∈，则k′＜0，k单调递减；
故当x=时，k取得最大值且最大值为．
综上，kmax=