Question

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若对一切n∈N^*成立，求最小正整数m的值．

Answer

（1）直接根据数列的首项和递推关系，求出a2，a3，a4的值．
（2）由 an+1=f（an）= 得 -=，从而得出结论．
（3）【解析】
由（2）得 an =，进而求得bn，用裂项法求得 sn=（1-），又 （1-）随n递增，且 （1-）=，可得 ≤，由此求得最小正整数m的值．
（1）【解析】
∵a1=1，an+1=f（an），n∈N*，
∴a2 =，a3=，a4=．  …（3分）
（2）【解析】
由  an+1=f（an）= 得 -=，…（8分）
所以，{}是首项为1，公差为的等差数列                              …（9分）
（3）【解析】
由（2）得 =1+（n-1）=，an =．     …（11分）
当n≥2时，bn=an-1an= （- ），当n=1时，上式同样成立，…（13分）
所以 sn=b1+b2+b3+…+bn= （ 1-+-+-+…+-）=（1-）．

因为 ，所以  （1-）＜ 对一切n∈N*成立，…（16分）
又 （1-）随n递增，且  （1-）=，所以，≤，
所以，m≥2020，m的最小值为2020．  …（18分）