Question

已知复数z₁=，z₂=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若复数z₁-z₂在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z₁是实系数一元二次方程x²-6x+m=0的根，求实数m值．

Answer

（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；
（2）实系数一元二次方程x2-6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a的值，从而求出m的值．
【解析】
（1）由条件得，z1-z2=（）+（a2-3a-4）i…（2分）
因为z1-z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…（4分）
∴解得-2＜a＜-1…（6分）
（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根
所以z1+==6，即a=-1，…（8分）
把a=-1代入，则z1=3-2i，=3+2i，…（10分）
所以m=z1•=13…（12分）