Question

对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
（1）求证：函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）设f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切的x∈R恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=mx+是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．

Answer

（1）对于函数f1（x）=|x-1|+|x-3|，欲判断其是否是“U型”函数，只须f1（x）＞=2是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；
（2）不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，等价于|t-1|+|t-2|≤f（x）min，等价于|t-1|+|t-2|≤2，从而可求实数t的取值范围；
（3）函数g（x）=mx+是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，等价于x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立，利用恒等关系，可得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数即可解决问题．
【解析】
（1）当x∈[1，3]时，f1（x）=x-1+3-x=2，
当x∉[1，3]时，f1（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2
故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，…（4分）
所以函数f1（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数…（5分）
（2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）min…（7分）
由（1）可知f（x）min=（|x-1|+|x-3|）min=2…（8分）
所以|t-1|+|t-2|≤2…（9分）
解得：…（11分）
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+=c，即=c-mx
所以x2+2x+n=（c-mx）2恒成立，即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2对任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以，所以或…（14分）
①当时，g（x）=x+|x+1|．
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数…（16分）
②当时，g（x）=-x+|x+1|．
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“U型”函数．（12分）
综上分析，m=1，n=1为所求…（18分）