Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer

（I）由已知中侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，由正方形的几何特征结合线面垂直的判定，易得AA1⊥平面ABC，即三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，再由点D是棱B1C1的中点，结合等腰三角形“三线合一”，及直三棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理，即可得到A1D⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）连接AC1，交A1C于点O，连接OD，由正方形的几何特征及三角形中位线的性质，可得OD∥AB1，进而结合线面平行的判定定理，我们易得，AB1∥平面A1DC；
（Ⅲ）因为AB，AC，AA1两两互相垂直，故可以以A坐标原点，建立空间坐标系，求出几何体中各顶点的坐标，进而求出平面DA1C与平面A1CA的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，
所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，
所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱．（1分）
因为A1D⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D，（2分）
又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，
所以A1D⊥B1C1．（3分）
因为CC1∩B1C1=C1，
所以A1D⊥平面BB1C1C．（4分）
（Ⅱ）证明：连接AC1，交A1C于点O，连接OD，
因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点，又D为B1C1中点，
所以OD为△AB1C1中位线，所以AB1∥OD，（6分）
因为OD⊂平面A1DC，AB1⊄平面A1DC，
所以AB1∥平面A1DC．（8分）
（Ⅲ）【解析】
因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则.，（9分）
设平面A1DC的法向量为n=（x，y，z），则有，，x=-y=-z，
取x=1，得n=（1，-1，-1）．（10分）
又因为AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为，（11分），（12分）
因为二面角D-A1C-A是钝角，
所以，二面角D-A1C-A的余弦值为．（13分）