Question

设角，则“”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

Answer

由“”能导出“（1+tanα）（1+tanβ）=2”，即充分性成立，由“（1+tanα）（1+tanβ）=2”能导出“，或tanαtanβ=1”，即必要性不成立．
【解析】
∵，，
∴（1+tanα）（1+tanβ）
=1+tanα+tanβ+tanαtanβ
=1+tan（α+β）（1-tanαtanβ）+tanαtanβ
=1+tan（）（1-tanαtanβ）+tanαtanβ
=1+1×（1-tanαtanβ）+tanαtanβ
=2，
∴“”⇒“（1+tanα）（1+tanβ）=2”，
∵（1+tanα）（1+tanβ）=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+tan（α+β）（1-tanαtanβ）+tanαtanβ=2，
∴tan（α+β）=1，或tanαtanβ=1，
∴，或tanαtanβ=1．
∴“（1+tanα）（1+tanβ）=2”⇒“，或tanαtanβ=1”．
故角，则“”是“（1+tanα）（1+tanβ）=2”成立的充分非必要条件．