Question

已知．
（1）若是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值；并求此时g（x）在[0，π]上的取值范围．

Answer

（1）依题意，y=f（x+θ）=2sin[ω（x+θ）+]，利用y=f（x+θ）是周期为π的偶函数，0＜θ＜，即可求得ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+），利用正弦函数的单调性可求ω的最大值；并求此时f（x）在[0，π]上的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=sinωx+3cosωx=2sin（ωx+），
∴y=f（x+θ）=2sin[ω（x+θ）+]，
∵y=f（x+θ）是周期为π的偶函数，0＜θ＜，
∴ω=2，2θ+=kπ+∈（，），
∴k=0，θ=．
（2））∵g（x）=f（3x）=2sin（3ωx+）在（-，）上是增函数，
∴由2kπ-≤3ωx+≤2kπ+（k∈Z），ω＞0得：
≤x≤（k∈Z），
∵f（3x）=2sin（3ωx+）在（-，）上是增函数，
∴≤，≤-，ω＞0
∴0＜ω≤．
∴ωmax=．
当ω=时，f（x）=2sin（x+），f（3x）=2sin（x+）．
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴≤sin（x+）≤1．
∴≤2sin（x+）≤2．
∴当x∈[0，π]，f（3x）=2sin（x+）∈[，2]．