Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

Answer

（1）n≥2时，由an+1=2Sn+2，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）先求得dn，从而可得第n个等差数列的和An，由此可得结论；
（3）利用反证法．假设在数列{dn}中存在dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，由此可得m=k=p这与题设矛盾．
【解析】
（1）n≥2时，由an+1=2Sn+2，得an=2Sn-1+
两式相减可得：an+1-an=2an，∴an+1=3an，即数列{an}的公比为3
∵n=1时，a2=2S1+2，∴3a1=2a1+2，解得a1=2，
∴an=2×3n-1；
（2）由（1）知an=2×3n-1，an+1=2×3n，
因为an+1=an+（n+1）dn，所以dn=
第n个等差数列的和是An=（n+2）an+×=4（n+2）×3n-1=（n+2）（n+1）dn，
∴存在一个关于n的多项式g（n）=（n+2）（n+1），使得An=g（n）dn对任意n∈N*恒成立；
（3）假设在数列{dn}中存在dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列
则dk2=dmdp，即（）2=×
因为m，k，p成等差数列，所以m+p=2k①
上式可以化简为k2=mp②
由①②可得m=k=p这与题设矛盾
所以在数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．