Question

已知函数，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k²，b=（k+c）²时，记f（x）=f₁（x）；当a=（k+c）²，b=（k+2c）²时，记f（x）=f₂（x）．
求证：．

Answer

（1）当a=1，b=2时，=（x2+）-2（）+2，利用换元法，转化为二次函数，利用单调性，可求f（x）的最小值；
（2）f（x）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，等价于f（x）min≥2m-1，函数可化为=-2（）-+2，利用换元法，转化为二次函数，利用单调性，即可求实数m的取值范围；
（3）利用基本不等式可得（a2+b2）≥，从而可得＞＞2，利用条件再利用基本不等式，即可证得结论．
【解析】
（1）当a=1，b=2时，=（x2+）-2（）+2
令=t（t≥2），y=t2-2t-2=（t-1）2-3
∴函数在[2，+∞）上单调增，∴y≥6-4
∴f（x）的最小值为6-4；
（2）f（x）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，等价于f（x）min≥2m-1
=-2（）-+2
令=t（t≥），则y=t2-2t-+2
∴函数在[，+∞）上单调增，∴y≥＞0
∴0≥2m-1
∴m≤0；
（3）因为（a2+b2）≥，所以＞＞2
当a=k2，b=（k+c）2时，=；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，=
所以f1（x）+f2（x）＞2（）2+2（）2）＞（因为0＜a＜b，所以等号取不到）