Question

若椭圆（a＞b＞1）内有圆x²+y²=1，该圆的切线与椭圆交于A，B两点，且满足（其中O为坐标原点），则9a²+16b²的最小值是    ．

Answer

设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得a2（m2-b2k2-b2）+m2b2=0，利用y=kx+m是单位圆的切线，可得m2=k2+1，从而可得a2+b2=a2b2，可得a2＞2，b2==1+，由此可求9a2+16b2的最小值．
【解析】
设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程得关于x的一元二次方程（b2+a2k2）x2-2a2kmx+a2m2-a2b2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
∵
∴x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0
∴（k2+1）a2（m2-b2）-2k2m2a2+m2（a2k2+b2）=0
∴a2（m2-b2k2-b2）+m2b2=0（*）
因为y=kx+m是单位圆的切线，所以，即m2=k2+1
代入（*）式子，得到a2（1-b2）m2+m2b2=0，所以a2+b2=a2b2
由于a＞b，所以a2b2=a2+b2＞2b2，∴a2＞2
∵b2==1+
代入得9a2+16b2=9a2++16=9（a2-1）++25≥49
当且仅当a2-1=时取到最小值
故答案为：49