Question

若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”．
（1）判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由；
①f（x）=x³         ②f（x）=2^x
（2）已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．

Answer

（1）根据新定义，列出方程恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f（x）=x3 不是“Ω函数”，f（x）=2x是“Ω函数”；
（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，即可求出a，b．
【解析】
（1）①若f（x）=x3 是“Ω函数”，则存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b，
即（a2-x2）3=b时，对x∈R恒成立                                     …（2分）
而x2=a2-最多有两个解，矛盾，
因此f（x）=x3 不是“Ω函数”…（3分）
②若f（x）=2x是“Ω函数”，则存在常数a，b使得2a+x•2a-x=22a，
即存在常数对（a，22a）满足，因此f（x）=2x是“Ω函数”（6分）
（2）【解析】
函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，
设有序实数对（a，b）满足，则tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立
当a=kπ+，k∈Z时，tan（a-x）tan（a+x）=-cot2x，不是常数；   …（8分）
因此a≠kπ+，k∈Z，当x≠mπ+，m∈Z时，
则有（btan2a-1）tan2x+（tan2a-b）=0恒成立，
所以btan2a-1=0且tan2a-b=0
∴tan2a=1，b=1
∴a=kπ+，k∈Z，b=1      …（13分）
∴当x=mπ+，m∈Z，a=kπ±时，tan（a-x）tan（a+x）=cot2a=1．
因此满足f（x）=tanx是一个“Ω函数”的实数对（a，b）=（kπ±，1），k∈Z…（14分）