Question

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列{是等差数列．
（3）设数列{b_n}满足b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若对一切n∈N^*成立，求最小正整数m的值．

Answer

（1）由a1=1，，分别令n=1，2，3，能够求出a2，a3，a4．
（2）由，得=，由此能够证明{}是等差数列．
（3）由=，得到，故bn=an-1an=（-），利用裂项求和法得到Sn=，由此能够求出对一切n∈N*成立时最小正整数m的值．
（1）【解析】
由a1=1，，
得a2==，
a3==，
a4==．…（3分）
（2）证明：由，
得=，…（8分）
所以，{}是首项为1，公差为的等差数列，…（9分）
（3）【解析】
由（2）得=1+=，
∴，…-（10分）
当n≥2时，bn=an-1an=（-），
当n=1时，上式同样成立，…（12分）

所以Sn=b1+b2+b3+…+bn
=
=，
因为，
所以对一切n∈N*成立，…（14分）
又随n递增，
且（1-）=，所以，
所以m≥2021，
∴mmin=2021．…（16分）