Question

已知△ABC的三个顶点在抛物线：x²=y上运动．
（1）求的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=，点M在BC上，且，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由抛物线的方程，可得抛物线的焦点在y轴上，开口向上，故可得焦点坐标；
（2）设点M的坐标为（x，y），设出AB、AC方程与抛物线方程联立，确定B、C的坐标，从而可得BC的方程，利用，即可求得点M的轨迹方程；
（3）设A、B、C的坐标，求得△ABC的三边所在直线的斜率，若AB边所在直线的斜率为，AB边所在直线和x轴的正方向所成角为α（0°＜α＜90°），则tanα=，得出坐标之间的关系，即可求得|AB|．
【解析】
（1）由x2=y可得焦点在y轴的正半轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为（0，）  …（3分）
（2）设点M的坐标为（x，y），AB方程为y=kx，由∠BAC=得AC方程为y=-，则得B（k，k2），同理可得C（-，）
∴BC方程为y-k2=恒过定点P（0，1），…（10分）
∴
∵
∴，
所以，-x×x+y（1-y）=0，即y2+x2-y=0（x≠0）
（3）设A（p，p2），B（q，q2），C（r，r2），△ABC的三边所在直线AB，BC，CA的斜率分别是p+q，q+r，r+p------①…（12分）
若AB边所在直线的斜率为，AB边所在直线和x轴的正方向所成角为α（0°＜α＜90°），则tanα=，
所以                                         …（14分）
∴q-p=tan（α-60°）-tan（α+60°）=-----②
又p+q=tanα=--------------③…（16分）
所以，|AB|==  …（18分）