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如图,已知直线l:x=my+1过椭圆manfen5.com 满分网的右焦点F,抛物线:manfen5.com 满分网的焦点为椭圆C的上顶点,且直线l交椭圆C于A、B两点,点A、F、B在直线g:x=4上的射影依次为点D、K、E.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l交y轴于点M,且manfen5.com 满分网,当m变化时,探求λ12的值是否为定值?若是,求出λ12的值,否则,说明理由;
(Ⅲ)连接AE、BD,试证明当m变化时,直线AE与BD相交于定点manfen5.com 满分网

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(Ⅰ)由题设条件能够求出c=1,b=,从而求出椭圆C的方程. (Ⅱ)设直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组,由根与系数的关系推导λ1+λ2的值. (Ⅲ)由题设条件想办法证明点在既直线lAE上,又在直线lBD上,∴当m变化时,AE与BD相交于定点. 【解析】 (Ⅰ)易知椭圆右焦点F(1,0),∴c=1, 抛物线的焦点坐标,∴∴b2=3 ∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程 (Ⅱ)易知m≠0,且l与y轴交于, 设直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2) 由 ∴△=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0 ∴ 又由 ∴ 同理 ∴ ∵ ∴ 所以,当m变化时,λ1+λ2的值为定值; (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知A(x1,y1),B(x2,y2),∴D(4,y1),E(4,y2) 方法1)∵ 当时,= = ∴点在直线lAE上, 同理可证,点也在直线lBD上; ∴当m变化时,AE与BD相交于定点 方法2)∵ = ∴kEN=kAN∴A、N、E三点共线, 同理可得B、N、D也三点共线; ∴当m变化时,AE与BD相交于定点.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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