Question

已知分别以d₁和d₂为公差的等差数列{a_n}和{b_n}满足a₁=18，b₁₄=36，
（1）若d₁=18，d₂≥2917，且a_m²=b_m+14-45，求m的取值范围；
（2）若a_k=b_k=0，且数列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+1，…，b₁₄…的前n项和S_n满足S₁₄=2S_k，
①求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②令，，a＞0且a≠1，探究不等式A_nB_n+1＜A_n+B_n是否对一切正整数n恒成立？

Answer

（1）因为等差数列{an}中，a1=18，d1=18，所以am=a1+（m-1）d1=18m，因为等差数列{bn}中，b14=36，d2≥2917，所以bm+14=b14+md2=36+md2，由am2=bm+14-45，能求出m的取值范围
（2）①因为ak=bk=0，所以S14=2Sk，即bk+bk+1+bk+2+…+b14=Sk，所以，解得k=10，由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式．
②因为an=20-n，bn=9n-90，所以，又AnBn+1＜An+Bn等价于（An-1）（Bn-1）≤0，且a＞0且a≠1，由此进行分类讨论能求出当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．
【解析】
（1）因为等差数列{an}中，a1=18，d1=18，
所以am=a1+（m-1）d1=18m，
因为等差数列{bn}中，b14=36，d2≥2917，
所以bm+14=b14+md2=36+md2，（2分）
又因为am2=bm+14-45，
所以（18m）2=md2-9，
故有，
因为m∈N*，所以m≥9； …（4分）
（2）①因为ak=bk=0，
所以S14=2Sk，
即bk+1+bk+2+…+b14=Sk，
亦即bk+bk+1+bk+2+…+b14=Sk，
所以有，
解得k=10，（6分）
由ak=a1+（k-1）d1，bk=b14+（k-14）d2知，d1=-2，d2=9，（8分）
所以an=20-2n，
bn=9n-90；  （10分）
②因为an=20-n，bn=9n-90，
所以，
又AnBn+1＜An+Bn等价于（An-1）（Bn-1）≤0，且a＞0且a≠1，
当a＞1时，若n=10时，（An-1）（Bn-1）=（a-1）（a-1）=0，
若n＜10时，a10-n＞1，an-10＜1，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立，
若n＞10时，a10-n＜1，an-10＞1，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立，
所以当a＞1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立． （14分）
同理可证，当0＜a＜1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．
即当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，
所以（An-1）（Bn-1）≤0成立．（16分）