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已知分别以d1和d2为公差的等差数列{an}和{bn}满足a1=18,b14=3...

已知分别以d1和d2为公差的等差数列{an}和{bn}满足a1=18,b14=36,
(1)若d1=18,d2≥2917,且am2=bm+14-45,求m的取值范围;
(2)若ak=bk=0,且数列a1,a2,…,ak,bk+1,bk+1,…,b14…的前n项和Sn满足S14=2Sk
①求数列{an}和{bn}的通项公式;
②令manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,a>0且a≠1,探究不等式AnBn+1<An+Bn是否对一切正整数n恒成立?
(1)因为等差数列{an}中,a1=18,d1=18,所以am=a1+(m-1)d1=18m,因为等差数列{bn}中,b14=36,d2≥2917,所以bm+14=b14+md2=36+md2,由am2=bm+14-45,能求出m的取值范围 (2)①因为ak=bk=0,所以S14=2Sk,即bk+bk+1+bk+2+…+b14=Sk,所以,解得k=10,由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式. ②因为an=20-n,bn=9n-90,所以,又AnBn+1<An+Bn等价于(An-1)(Bn-1)≤0,且a>0且a≠1,由此进行分类讨论能求出当a>0且a≠1时,对任意n∈N*,所以(An-1)(Bn-1)≤0成立. 【解析】 (1)因为等差数列{an}中,a1=18,d1=18, 所以am=a1+(m-1)d1=18m, 因为等差数列{bn}中,b14=36,d2≥2917, 所以bm+14=b14+md2=36+md2,(2分) 又因为am2=bm+14-45, 所以(18m)2=md2-9, 故有, 因为m∈N*,所以m≥9; …(4分) (2)①因为ak=bk=0, 所以S14=2Sk, 即bk+1+bk+2+…+b14=Sk, 亦即bk+bk+1+bk+2+…+b14=Sk, 所以有, 解得k=10,(6分) 由ak=a1+(k-1)d1,bk=b14+(k-14)d2知,d1=-2,d2=9,(8分) 所以an=20-2n, bn=9n-90;  (10分) ②因为an=20-n,bn=9n-90, 所以, 又AnBn+1<An+Bn等价于(An-1)(Bn-1)≤0,且a>0且a≠1, 当a>1时,若n=10时,(An-1)(Bn-1)=(a-1)(a-1)=0, 若n<10时,a10-n>1,an-10<1, 所以(An-1)(Bn-1)≤0成立, 若n>10时,a10-n<1,an-10>1, 所以(An-1)(Bn-1)≤0成立, 所以当a>1时,对任意n∈N*, 所以(An-1)(Bn-1)≤0成立. (14分) 同理可证,当0<a<1时,对任意n∈N*, 所以(An-1)(Bn-1)≤0成立. 即当a>0且a≠1时,对任意n∈N*, 所以(An-1)(Bn-1)≤0成立.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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