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已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),并设, (1)若F(x)图象在x...

已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),并设manfen5.com 满分网
(1)若F(x)图象在x=0处的切线方程为x-y=0,求b、c的值;
(2)若函数F(x)是(-∞,+∞)上单调递减,则
①当x≥0时,试判断f(x)与(x+c)2的大小关系,并证明之;
②对满足题设条件的任意b、c,不等式f(c)-Mc2≤f(b)-Mb2恒成立,求M的取值范围.
(1)欲求b,c的值,根据所给的切线方程,只须求出切线斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率进而得切线方程,最后与所给的方程比较即得b,c的值; (2)根据函数F(x)是(-∞,+∞)上单调递减,得到F′(x)≤0恒成立,从而得到c>b且c≥1,①令g(x)=f(x)-(x+c)2=(b-2c)x-c(c-1),从而得到结果; ②不等式f(c)-Mc2≤f(b)-Mb2恒成立等价于f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,分离参数可得恒成立,转化为求的最大值即可. 【解析】 (1)因为,所以, 又因为F(x)图象在x=0处的切线方程为x-y=0, 所以 ,即,解得 b=1,c=0. (2)①因为F(x)是(-∞,+∞)上的单调递减函数,所以F′(x)≤0恒成立, 即-x2+(2-b)x+(b-c)≤0对任意的x∈R恒成立, 所以△=(2-b)2+4(b-c)≤0,所以,即c>b且c≥1, 令g(x)=f(x)-(x+c)2=(b-2c)x-c(c-1),由b-2c<0,知g(x)是减函数, 故g(x)在[0,+∞)内取得最小值g(0),又g(0)=-c(c-1)≤0, 所以x≥0时,g(x)≤g(0)≤0,即f(x)≤(x+c)2. ②由①知,c≥|b|≥0,当|b|=c时,b=c或b=-c, 因为b2+4-4c≤0,即c2+4-4c≤0,解得c=2,b=2或b=-2,所以f(x)=x2±2x+2, 而f(c)-f(b)=c2+bc+c-b2-b2-c=c2+bc-2b2=(c+2b)(c-b), 所以f(c)-f(b)=-8或0, 不等式f(c)-Mc2≤f(b)-Mb2等价于f(c)-f(b)≤M(c2-b2), 变为-8≤M•0或0≤M•0恒成立,M∈R, 当|b|≠c时,c>|b|,即c2-b2>0,所以不等式f(c)-Mc2≤f(b)-Mb2恒成立等价于恒成立,等价于, 而, 因为c>|b|,,所以,所以,所以, 所以,所以.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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