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已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称. (1)求...

已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称.
(1)求b的值;
(2)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域.
(1)函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称,则求出f′(x)得到一个二次函数,利用x==2求出b即可;(2)求出f′(x),由(1)得函数的对称轴为x=2,讨论c的取值范围求出g(t)的定义域和值域即可. 【解析】 (1)f′(x)=3x2+2bx+c 因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称, 所以,于是b=-6 (2)由(Ⅰ)知,,f(x)=x3-6x2+cx f′(x)=3x2-12x+c=3(x-2)2+c-12 (ⅰ)当c≥12时,f′(x)≥0,此时f(x)无极值. (ii)当c<12时,f′(x)=0有两个互异实根x1,x2. 不妨设x1<x2,则x1<2<x2. 当x<x1时,f′(x)>0,f(x)在区间(-∞,x1)内为增函数; 当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)在区间(x1,x2)内为减函数; 当x>x2时,f′(x)>0,f(x)在区间(x2,+∞)内为增函数. 所以f(x)在x=x1处取极大值,在x=x2处取极小值. 因此,当且仅当c<12时,函数f(x)在x=x2处存在唯一极小值,所以t=x2>2. 于是g(t)的定义域为(2,+∞). 由f′(t)=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t. 于是g(t)=f(t)=t3-6t2+ct=-2t3+6t2,t∈(2,+∞). 当t>2时,g′(t)=-6t2+12t=6t(2-t)<0 所以函数g(t)在区间(2,+∞)内是减函数, 故g(t)的值域为(-∞,8)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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