Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，则A₁C与DE所成的角的余弦为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

连接A1B、AB1交于点F，连接DF、EF、A1D、BD，根据△A1BC的中位线，得到∠DEF（或其补角）就是异面直线A1C与DE所成的角．再设正方体棱长为2，根据正方体的性质，在△DEF中计算出各边的长，最后用余弦定理算出A1C与DE所成的角的余弦．
【解析】
连接A1B、AB1交于点F，连接DF、EF、A1D、BD
设正方体棱长为2，则对角线A1C==2
∵△A1BC中，E、F分别是BC、A1B的中点
∴EF∥A1C且EF=A1C=
∠DEF（或其补角）就是异面直线A1C与DE所成的角
∵△A1BD中，A1D=DB=A1B=AB=2
∴△A1BD是正三角形，可得中线DF=DB=
∵Rt△CDE中，DE==
∴△DEF中，cos∠DEF==＞0
因此∠DEF为锐角，等于异面直线A1C与DE所成的角．
即A1C与DE所成的角的余弦为
故选A