Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别为BC与A₁D₁的中点，
（1）求直线A₁C与DE所成的角；
（2）求直线AD与平面B₁EDF所成的角；
（3）求面B₁EDF 与 面ABCD所成的角．

Answer

（1）在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A1CP（或补角）为异面直线A1C与DE所成的角，在△A1CP中，利用余弦定理，即可求得异面直线A1C与DE所成的角；
（2）证明直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1，在直角△B1AD中，利用余弦定理，即可求得直线AD与平面B1EDF所成的角；
（3）连接EF、B1D，交于点O，作OH⊥平面ABCD，作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则可得∠OMH为面B1EDF 与 面ABCD所成的角，在直角△OHM中，利用正弦函数，即可求得面B1EDF 与 面ABCD所成的角．
【解析】
（1）如图，在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A1CP（或补角）为异面直线A1C与DE所成的角
在△A1CP中，A1C=a，CP=DE=，A1P=
∴cos∠A1CP==
∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos；
（2）∵平面ADE⊥平面ADF
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上，而四边形B1EDF是菱形
∴DB1为∠EDF的平分线
∴直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1．
在直角△B1AD中，AD=a，AB1=a，B1D=a，
∴cos∠ADB1==
∴直线AD与平面B1EDF所成的角为arccos；
（3）连接EF、B1D，交于点O，显然O为B1D的中点，从而O为正方体的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心
作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则OM⊥DE，故∠OMH为面B1EDF与面ABCD所成的角．
在直角△DOE中，OE=，OD=，DE=
则由面积关系可得OM=
在直角△OHM中，sin∠OMH==
∴面B1EDF与面ABCD所成的角为arcsin