Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱长为2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，D是侧棱CC₁上一点，且BD与底面所成角为30°．
（1）求点D到AB所在直线的距离．
（2）求二面角A₁-BD-B₁的度数．

Answer

（1）根据线面垂直的性质可知AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离，再根据线面所成角的定义可知∠DBC即为BD与底面所成角，可求出BD，即可求得所求；
（2）过B1作BD的垂线角BD与E，连接A1E，B1E，根据二面角平面角的定义可知∠A1EB1为二面角A1-BD-B1的平面角，在直角三角形A1B1E中，求出此角即可．
【解析】
（1）∵BD在底面的射影为BC
∴∠DBC即为BD与底面所成角则∠DBC=30°
∵∠B=90°，直三棱柱ABC-A1B1C1，
∴AB⊥侧面BC1，而BD⊂侧面BC1，
∴AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离
在直角三角形BDC中，BD=2
∴点D到AB所在直线的距离为2
（2）过B1作BD的垂线角BD与E，连接A1E，B1E
∵A1B1⊥侧面BC1，
∴∠A1EB1为二面角A1-BD-B1的平面角
在直角三角形A1B1E中，A1B1=1，B1E=
∴tan∠A1EB1=
∴∠A1EB1=30°
即二面角A1-BD-B1的度数为30°