Question

如图，在△ABC中，，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点A₁作直线l与圆E：（x-1）²+y²=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer

（1）确定A，C的坐标，即可得到P的坐标，利用椭圆的定义，求得长轴长，进而可求椭圆的方程；
（2）椭圆的右顶点A1（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径，假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，则可得∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离，分类讨论：当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2；当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，求出圆心E（1，0）到直线l的距离即可得到结论．
【解析】
（1）∵
∴|BO|=|OC|=1，…（2分）
∴
∴…（4分）
依椭圆的定义有：=
∴a=2，…（6分）
又c=1，∴b2=a2-c2=3…（7分）
∴椭圆的标准方程为…（8分）
（2）椭圆的右顶点A1（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径．
假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，则∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离…（10分）
当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，此时圆心E（1，0）到直线l的距离d=1（符合）…（11分）
当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，
∴圆心E（1，0）到直线l的距离，无解…（13分）
综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，此时l方程为x=2…（14分）．