Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC=2，∠ACB=90°，P是AA₁的中点，Q是AB的中点．
（1）求证：PQ⊥平面B₁CQ；
（2）求平面B₁CQ和平面A₁C₁Q所成锐二面角的大小．

Answer

（1）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，然后根据，，则PQ⊥CQ，PQ⊥B1Q，满足线面垂直的判定定理；
（2）先求出平面A1C1Q的一个法向量，而是平面B1CQ的一个法向量，然后利用向量的夹角公式进行求解即可．
【解析】
（1）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系．             …（1分）
由题意可知C（0，0，0），P（2，0，1），Q（1，1，0），B1（0，2，2），…（4分）
则
又因为，∴PQ⊥CQ，PQ⊥B1Q，…（6分）∴PQ⊥平面B1CQ  …（7分）
（2）由题意可知C1（0，0，2），A1（2，0，2），
设平面A1C1Q的一个法向量为
则由，∴平面A1C1Q的一个法向量可以是（0，1，2）…（11分）
又由（1）可知是平面B1CQ的一个法向量．…（12分）
设平面B1CQ和平面A1C1Q所成锐二面角为α，则，
∴平面B1CQ和平面A1C1Q所成锐二面角的大小为…（14分）