Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积S；
（2）求异面直线A₁B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer

（1）利用S=2S△ABC+S侧，可求三棱柱ABC-A1B1C1的表面积S；
（2）连接BC1，确定∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求结论．
【解析】
（1）在△ABC中，因为AB=2，AC=4，∠ABC=90°，所以BC=．…（1分）
S△ABC=AB×BC=2．…（1分）
所以S=2S△ABC+S侧=4+（2+2+4）×4=24+12．…（3分）
（2）连接BC1，因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）．…（1分）
在△A1BC1中，A1B=2，BC1=2，A1C1=4，…（1分）
由余弦定理可得cos∠BA1C1=，…（3分）
所以∠BA1C1=arccos．…（1分）
即异面直线A1B与AC所成角的大小为arccos．…（1分）